运动学研究的三重境界

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日期：2019年12月17日

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来源:平平

高中物理的第一个概念便是关于物体运动的描述，即物体空间位置随时间的变化，其研究对象为质点，即用以代替物体的一个具有质量的点，这是运动学研究的第一重境界—质点运动学，对于一个质点在空间中的运动，只要选定一个合适的参考系，就可以描述质点空间位置随时间变化的情况，通常建立一个以选定参考系中某点为原点建立一个空间直角坐标系，在引入向量的概念，以此为基础便可以描述质点的位移、速度以及加速度，这样便可以对一个质点在空间内的运动进行描述，此时具有三个自由度。

质点的运动

更为一般的情况，物体的体积是不可忽略的，是在空间中占据一定位置的，此时对于物体运动的研究为运动学研究的第二重境界—刚体运动学，刚体的空间运动可以分为两部分：质心运动和绕质心的转动。描述任意时刻的空间运动需要六个自由度：三个质心运动和三个角运动。

以一架飞机为例，可以将其看作是一个质点来描述其在空间中位置，同时其是具有一定大小的，可以完成俯仰、滚转以及偏转等运动，此时需要建立两个坐标系来描述其运动过程，一是以地面任意点为原点的地面坐标系，另一个是以机体质心为原点的机体坐标系，地面坐标系用于确定飞机的位置和确定的飞机的航迹，而机体坐标系描述飞机绕质心的转动，从地面坐标系到机体坐标系的转换需要三个过程：

1. 地面坐标系转动偏转角到过渡坐标系1

2. 过渡坐标系1转动俯仰角到过渡坐标系2

3. 过渡坐标系2转动滚转角到机体坐标系

此时两个坐标系之间的转换通过一个坐标转换矩阵来实现。一般情况下，飞机的运动方程是描述飞机相对地面坐标系的位置和姿态角的，对于飞机运动的描述，还需要引入角速度和角加速度。

飞机的三个角运动

坐标系转换过程

更为一般的情况，许多物体是可以看作是通过铰链连接的刚体，比如在研究跳水运动时可以将人体看作是头、左右上臂、左右前臂、上躯干、下躯干、左右大腿、左右小腿通过铰链连接的刚体（局部自由度进行限制）。

跳水运动示意图

之前所分析的运动中，大多是固体的研究对象，对于液体或者气体的研究对象，那么就需要达到运动学的第三重境界—流体运动学。流体的运动分析远比固体要复杂的多，其内部各点在运动过程中位置变化可能很大，因此需要采取不同的研究方法。

对于固体研究对象的运动分析，可以着眼于这个物体，这个物体之外均视为环境，物体与环境之间发生作用从而改变物体的运动状态，这种分析方法称为拉格朗日法，但对于流体来说，采用这种方法需要复杂的空间坐标转换，在流体研究过程中，通常是研究一个特定的空间，着眼于流体流过这个空间时的状态和与空间的相互作用，这种研究方法称为欧拉法。

当流体流经一个变化的通道时，其会产生复杂的变形，这种运动过程该如何描述呢？对于流体运动学的研究对象通常为流体微团（连续流体中体积无限小的质点团，可以平移、转动和变形），其运动过程可以分解为四种基本的运动：平移、转动、线变形（拉伸与压缩）和角变形（剪切）。

流体运动的分解

对于流体微团的速度的描述，可以将其分解为平动速度、旋转角速度、线变形速度与角变形速度，这就是著名的赫姆霍兹速度分解定理。

在欧拉坐标下，加速度由两部分组成，一部分是由于流体在空间某点处流动的非定常性体现的加速度，与时间有关，称为时变加速度；另一部分由于流体从一点运动到另外一点过程中空间的不均匀性产生的加速度，称为迁移加速度。

如果对流体进行进一步研究，可以推导出物理学中最难的方程之一—NS方程，其中湍流则更加具有挑战性，希望有朝一日有人可以解决这个难题。

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